Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2};\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge c-\frac{a}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(P\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Khi \(a=b=c=1\)

 ta biến đổi a^2/(a+b^2)=a^3/a(a+b^2) áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số a^3/a(a+b^2) ,a/2,a+b^2 
ta đc a^3/a(a+b^2)+a/2+(a+b^2)/a>= 3a/2 tương tự b^3/b(b+c^2)+b/2+(b+c^2)/4>=3b/2 
c^3/c(c+a^2)+c/2+(c+a^2)/4>=3c/2 
đặt biểu thức đầu là P Ta có P +(a+b+c)/2+(a+b+c+a^2+b^2+c^2)/4>=3/2(a+... 
mặt khác (a+b+c)^2=<3(a^2+b^2+c^2) => a^2+b^2+c^2>=3 
thay vào =>P>=3/2 DẤU "=" XẢY RA <=> A=B=C=1 
CHÚC BẠN THÀNH CÔNG

Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)

Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b=  c = 2

Có cách UCT :)

\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\)

Xét BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{27\left(a-2\right)^2}{2\left(a-6\right)^2}\ge0\)(luôn đúng)

Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế..

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2

Đó nhớ cho mình nha 

tích mình đi

làm ơn

rùi mình

tích lại

thanks

k mk đi 

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có :\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)

.Dấu "=" xảy ra khi   :\(\frac{a}{\frac{1}{a}}=\frac{b}{\frac{1}{b}}=\frac{c}{\frac{1}{c}}\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2\Leftrightarrow a=b=c\)

Mà \(a+b+c\le\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9:\frac{3}{2}=9.\frac{2}{3}=6\)

Vậy Min M = 6 <=> a = b = c